【時系列】共和分
沖本本5章から。
共和分
単位根の持つデータ同士で回帰分析した場合、見せかけの回帰になってしまうことが多いです。もうあきらめるしかないのか。。。 そんなことはありません!見せかけではない場合があります! それは共和分を持っているときです。 共和分の概念自体は単純でとが線形結合すなわち
の場合に単位根を持たなくなったとき、両者は共和分の関係にあるといいます。共和分の関係の場合、回帰分析ができます
共和分検定
共和分の検定にはEngle-Granger検定があります。 この検定の考え方はシンプルで ①OLSで回帰分析 ②残差が単位根がなければ共和分ありとみなす この検定の帰無仮説は「共和分関係がない」です。
Rで実装
#パッケージ library(vars) #ランダムウォークを生成 n_sample <- 400 #サンプルサイズ set.seed(10) rw <- cumsum(rnorm(n=n_sample)) x_co <- 0.6*rw + rnorm(n=n_sample) y_co <- 0.4*rw + rnorm(n=n_sample) #ADF(単位根)検定 summary(ur.df(y_co, type = "none" )) ############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression none Call: lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -4.0281 -0.8282 -0.0794 0.8101 3.4312 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) z.lag.1 -0.012165 0.009448 -1.288 0.199 z.diff.lag -0.453423 0.044548 -10.178 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.236 on 396 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.2162, Adjusted R-squared: 0.2122 F-statistic: 54.62 on 2 and 396 DF, p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -1.2875 #単位根を持つという帰無仮説は棄却できない Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau1 -2.58 -1.95 -1.62 summary(ur.df(x_co, type = "none" )) ############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression none Call: lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -4.6304 -1.0182 -0.0304 0.8609 4.3365 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) z.lag.1 -0.007435 0.007294 -1.019 0.309 z.diff.lag -0.418492 0.045650 -9.167 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.436 on 396 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.1803, Adjusted R-squared: 0.1762 F-statistic: 43.57 on 2 and 396 DF, p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -1.0194 #単位根を持つという帰無仮説は棄却できない Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau1 -2.58 -1.95 -1.62 #データを1つにまとめる df <- data.frame( y_co = y_co, x_co = x_co, ) #ts型に変換 ts_df <- ts(df) #共和分検定 summary(ca.po(ts_df, demean = "none")) ######################################## # Phillips and Ouliaris Unit Root Test # ######################################## Test of type Pu detrending of series none Call: lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.580e-15 -3.550e-16 4.000e-18 3.650e-16 5.676e-14 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) z[, -1]x_co 6.667e-01 1.593e-17 4.184e+16 <2e-16 *** z[, -1]z -6.667e-01 8.722e-17 -7.644e+15 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.133e-15 on 398 degrees of freedom Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: 1 F-statistic: 8.822e+32 on 2 and 398 DF, p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -1.357322e+16 #帰無仮説を棄却できない Critical values of Pu are: 10pct 5pct 1pct critical values 26.7022 32.9392 46.4097
これまでのVAR~単位根までの過程についてこちらに詳しくまとめられています。